способ делить октаву

 Анри Волохонский

Простейший вид деления октавы       

Октавой  называется отношение высот звуков, издаваемых струнами или трубами, длины которых относятся как 1/2. Если взять струну, длиной в 1. и рядом поместить удвоенную струну 2. во всем прочем подобную первой, то их звуки составят октаву. Можно взять одну струну и пережать ее в середине. Звуки половины (1.) и целой струны (2.) тоже образуют октаву. Любое удвоение числа, характеризующего длину струны, (то есть числа 1., 2., 4., 8., ... ; а также 3., 6., 12., 24., ... ; 5., 10., 20., 40., ... и т.п.) даёт ряды октав.  

Посмотрим теперь на октаву 2. — 4. Если разделить вторую половину струны от 2. до 4. ровно пополам, получится ряд 2., 3., 4. и новый звук 3. Этот звук 3. находится в отношении 2/3 к верхнему тону октавы и в отношении 3/4 к нижнему. 2/3 называется квинтой (равно и 3/2), а 3/4 (как и 4/3) — квартой.   

Рассмотрим еще одну октаву: 4. — 8. Звук 6., образующий октаву вниз от 3., займет середину части струны от 4. до 8. Если взять середину части струны от 4. до 6., получится звук 5. и ряд 4., 5., 6. Тем самым октава 3. — 6. оказывается разделенной на три равные части: между 3. и 4. (отношение 3/4), между 4. и 5. (отношение 4/5) и между 5. и 6. (отношение 5/6). Отношение 4/5 называется большой терцией, отношение 5/6 — малой терцией. Большая и малая терция вместе (4/5 х 5/6 = 4/6) составляют отношение 4/6 = 2/3, то есть квинту. Они могут быть получены делением квинты ровно по середине, независимо от ее положения среди прочих звуков.

Рассматриваемая октава 3., 4., 5., 6. содержит все основные звуки, которыми мы будем в дальнейшем пользоваться, и не содержит ни одного лишнего звука.     Следующая октава между 6. и 12. содержит такие же звуки 8. и 10., но они вдвое больше, то есть на октаву ниже, чем 4. и 5. Сходное положение будет наблюдаться во всех более низких октавах. В этом смысле последовательность октав может быть изображена как развертывающаяся спираль, а сходные их звуки будут расположены на радиусах, идущих от начала спирали и пересекающих ее отдельные витки.

Идеальные тоны    

Если мы захотим знать что-то о звуке независимо от номера октавы, можно будет взять его число и разделить на два столько раз, сколько будет достаточно, чтобы осталась нечетная основа, которая на два уже не делится. Этот нечетный звук мы будем называть “идеальный тон”. Так все звуки ... 40., 20., 10. сводятся к идеальному тону 5.; все звуки ... 24., 12., 6. — к идеальному тону 3.; все звуки ... 16., 8., 4., 2. — к идеальному тону 1. Три основных, начальных, простых идеальных тона это 1., 3., 5. Октава 2., 3., 4. в идеальном виде выглядит как 1., 3., 1.; октава 4., 5., 6., 8. — как 1., 5., 3. 1.; октава 3., 4., 5., 6. — как 3., 1., 5., 3.  

Вернемся к октаве 6. — 12. Разделим ее ровно пополам, то есть найдем середину второй половины струны, на которой она расположена. Получим новый звук 9. Он находится посередине второй трети этой октавы, между звуками 8. и 10., составляющими большую терцию 4/5. Звук 9. образует с ними отношения 8/9 — большой тон и 9/10 — малый тон. В идеальном виде эта октава выглядит теперь как 3., 1., 9., 5., 3. Идеальные тоны 1., 9. и 5. делят ее на четыре части. Этого, очевидно, слишком мало для музыки. Мы можем продолжить деление реальной октавы, перенося полученные интервалы 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, 9/8 и 10/9, но единый способ для таких переносов найти трудно. Будем пользоваться другим методом, основанным на понятии “идеальный тон”.         

Идеальные тоны находятся друг к другу в идеальных отношениях, из которых нам уже известны октава (1/1), квинта (3/1), кварта (тоже 3/1), большая терция (5/1), малая терция (5/3), большой тон (9/1) и малый тон (9/5). Всё это отношения, повторяю, идеальные. Можно отметить равенство идеальных квинты и кварты, которые вместе (3/1 ^х 1/3) составляют октаву. Это обшее свойство всех идеальных отношений, получаемых так называемым “обращением” какого-либо интервала, как-то большой терции (4/5) и малой сексты (5/8). В реальном виде 4/5 ^х 5/8 = 4/8 = 1/2, то есть октава. В идеальном виде 1/5 ^х 5/1 = 1/1, идеальная октава. Обратим внимание, что нет смысла говорить, какое там отношение идеальная квинта, а какое — идеальная кварта — 3/1 или 1/3. Оба числа могут быть с равным успехом и квинтой и квартой. Это свойство идеальных отношений является результатом того, что мы замкнули октаву, превратив ее из отрезка спирали в подобие круга. А такое превращение позволит нам легко осуществить деление октавы на любое число частей. Это число должно быть достаточным для музыки. Звуки должны быть распределены более или менее равномерно. Не должно быть случаев приближения одного звука к другому при слишком больших интервалах рядом.

Пифагорейская октава    

Построим ряд идеальных тонов 1., 3., 9., 27., 81., 243., 729. Его использовали в неявном виде для деления октавы последователи Пифагора. Этот ряд содержит идеальные квинты или кварты (1/3) между соседними звуками; идеальные большие тоны (1/9), если брать через один звук; идеальные интервалы, близкие к большой и малой терции (1/27 и 81/1), и другие. Идеальная пифагорейская октава может выглядеть например так:

243.   1.      9.      81.      729.   3.      27.      243.  

Идеальные полутоны (1/243) располагаются здесь между 243. и 1. и между 729. и 3. Прочие интервалы между соседними звуками составляют идеальный тон (1/9). В реальной форме, при расположении звуков от высоких к более низким, эта октава выглядит как:         

486.   512.      576.      648.      729.   768.      864.      972.

и весьма близка к системе звуков белых клавиш современных инструментов:

                  до   си      ля      соль      фа   ми      ре      до

Полутоны (256/243) находятся в ней как раз между 486. и 512. (до и си) и между 729. и 768. (фа и ми), а прочие интервалы между расположенными рядом звуками равны тону (9/8). Если отсчитать в этой октаве пятый тон от нижнего до, считая до первым, получаем квинту соль. Считая от соль к верхнему до, получаем кварту. Считая от до к ми, получаем терцию (32/27) и т.д. Традиционные названия интервалов таким образом могут быть выведены из свойств этой октавы: квинта — пятый звук по порядку, кварта — четвертый, терция — третий. Октава, как показывает ее название, является здесь восьмым звуком. Пифагорейскую октаву можно было бы дополнить еще пятью звуками, в идеальном виде — степенями числа 3. (от 3⁷. до 3¹¹.), которые должны дать полутоны на месте черных клавиш в реальной октаве. Необходимо указать, однако, что неточное значение терций (32/27, а не 6/5, и 81/64, а не 5/4) представляет собой очевидный существенный недостаток пифагорейской системы звуков.  

Система трезвучий

   Попробуем теперь ввести идеальный тон 5. Сразу же обнаруживается идеальное трезвучие 1., 3., 5. Оно служит основой реального минорного трезвучия 3., 4., 5. или 4., 5., 6. и состоит из квинты или кварты, большой терции и малой терции или соответствующих секст. С другой стороны, мажорное идеальное трезвучие, построенное из тех же отношений, что и минорное (1/3, 5/3 и 5/1) состоит из трех идеальных тонов 3., 5., и 15. Разница между трезвучиями состоит в том, что в минорном каждый звук вступает в отношения лишь в одном качестве (например как 1., которая входит в отношения 1/3 и 1/5), а в мажорном каждый звук играет двоякую роль (как звук 3., который может войти в отношение 1/5 со звуком 15. и 3/5 со звуком 5.; или звук 5., находящийся в отношении 1/3 со звуком 15. и 5/3 со звуком 3.)        

Расположив звуки обоих трезвучий на горизонталях, кратных 1. и 5., получаем следующую картину:                                      

1.    3.                                       

5.   15.         (малый квадрат).

Горизонтальные линии здесь соответствуют идеальной квинте, вертикальные — идеальной большой терции, а диагональ от 5. к 3. — идеальной малой терции.      Пристроим к этому малому квадрату по такому же квадрату справа и снизу и замкнем четвертый квадрат звуком 225.:

1.        3.       9.                             

5.      15.      45.                            

25.    75.      225.          (средний квадрат)

Здесь мы обнаруживаем идеальные отношения, равные большому и малому тону (1/9 и 5/9) и большому и малому полутонам (1/15 и 3/25).           

Если мы проведем сходную операцию со средним квадратом, то получим большой квадрат, таблица 1.

Таблица 1

Идеальные тоны в большом квадрате

      1.        3.        9.        27.            81.

      5.       15.      45.       135.        405.

     25.      75.     225.      675.       2025.

    125.    375.    1125.    3375.    10125.

    625    1875.   5625.   16875.   50625.

    В центре квадрата обнаруживается число 225. Мы примем его за начало октавы, то есть за ноту “c” или до, и разделим все числа, составляющие большой квадрат, на 225. Получим следующие идеальные отношения:

   1/225      1/75      1/25      3/25          9/25

   1/45       1/15       1/5        3/5           9/5

   1/9         1/3           1           3               9

   5/9         5/3           5          15             45

 25/9       25/3          25         75            225

Умножая или деля каждое из идеальных отношений на степень числа 2 так, чтобы получились значения от 1 до 2, находим следующие реальные тоны:

Таблица 2

Тоны октавы в большом квадрате

256/225      128/75      32/25       48/25           (36/25)

  64/45         16/15        8/5           6/5              (19/5)

  16/9             4/3         1; (2)         3/2             (9/8)

  10/9             5/3         5/4           15/8             (45/32)

  25/18         25/24      25/16        75/64          (225/128)

   Рассматривая таблицу реальных тонов, можно обратить внимание, что в центре поставлено два числа: 1. и 2. Это и есть границы октавы. Кроме того следует указать, что числа в пятом столбце лишь на 81/80 превышают числа в начале следующего ряда (имеется ввиду отношение 36/25 к 64/45 и прочие подобные). Так как отношение 81/80 весьма мало, числа пятого столбца будут играть вспомогательную роль, а потому заключены здесь в скобки.

   (Нужно указать, что величина интервала может оцениваться не только по пропорции, но и по логарифмической шкале, в центах /См. например Волконский, 2003/. Так 81/80 составляет 20.5 цента. Величина интервала в центах вычисляется следующим образом. Берется логарифм значения интервала и умножается на частное от деления 1200 на логарифм числа 2. Результат округляется. Получающиеся величины аддитивны, их можно складывать или вычитать. Суммы и разности будут оценивать новый интервал. Величина октавы составляет 1200 центов).

Итак, рабочая октава может быть разделена лишь на 20 частей. Покажем сначала как выглядят семь основных звуков нашей октавы, то есть белые клавиши обычных инструментов. В третьей строчке написаны значения интервалов между соседними звуками белых клавиш:

  до           си               ля            соль          фа            ми             ре           до¹

 (c)     16/15 (h)        6/5 (a)        4/3 (g)      3/2 (f)      8/5 (e)      16/9 (d)     2 (c)

     16/15             9/8            10/9            9/8          16/15        10/9            9/8

Мы видим, что распределение тонов и полутонов между белыми клавишами здесь совпадает с традиционным. Сложнее обстоит дело с черными клавишами.

В нашей рабочей октаве между двумя звуками в интервале, равном большому или малому тону, вставлено по два звука, один из которых является повышенным от более низкого (то есть диезом, ^#; 71 или 92 цента), а другой — пониженным от более высокого (то есть бемолем, ^b; те же значения). Между звуками, находящимися в интервале в большой полутон, вставлено лишь по одному звуку, который должен служить одновременно бемолем и диезом. Как видно, во всех случаях значение бемоля или диеза превышает или равно интервалу в малый полутон (25/24; 71 цент) за исключением си- и ми-диеза, положение которых совпадает с до- и фа-бемолями. Ввиду того, что интервалы между до и си  и между фа и ми составляют большой полутон 16/15, полноценные бемоли от до и фа равны здесь малому полутону 25/24, а оставшаяся часть интервала к си и к ми оказывается равной 128/125, что определяет уменьшенное значение диезов от си и от ми: они составляют 41 цент, а не 71 или 92 цента, как для других нот. 

Особо следует указать на интервал между си и ля, в котором имеется еще один традиционный звук (b = 10/9), получаемый понижением си на малый полутон (25/24). От этого традиционного тона b, в свою очередь может быть взят новый бемоль b^b с интервалом 135/128 (92 цента), а от ля — диез a^# с таким же интервалом.  Можно заметить, что порядок нот между b и a отличается от порядка в прочих интервалах: после а вверх идет b^b, затем a^#, и уже за этой нотой следует b.

Таблица 3

 Двадцатитоновая октава